Yunanlı filozof Zeno sonsuzluk fikriyle ilgili hepimizi çok şaşırtan bir paradoks düşünmüştür.
Akhilleus ölümlü bir baba olan Peleus ile su tanrıçası olanThetis’in oğlu olan yarı tanrıdır. Dünyanın en büyük savaşçısı kabul edilir. Yunan mitolojisinin en önemli kahramanlarından biridir. Truva Savaşı’nın Grek kahramanlarının başında gelmekte ve Homeros’un İlyada mitolojik eserinde Greklerin en büyük savaşçısı olarak baş karakterdir
Zeno’nun paradoksunda bir kablumbağa ve Akhilleus yarışmaktadır.
Akhilleus bir kablumbağayı yarışa davet eder ve her şey orada başlar.
Akhilleus kendine güvenmektedir ve kaplumbağadan 10 kat daha hızlı koştuğunu düşünmektedir ve kaplumbağaya 10 metre avans vermiştir.
Akhilleus 10 metre koştuğunda, kaplumbağa 1 metre koşmuş olacak ve hala Akhilleus ‘in önünde olacak.Aşil 1 metre daha gittiğinde,kaplumbağa metrenin onda biri kadar yol gitmiş olacak. Akhilleus ona her yetişmeye çalıştığında, kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olacak . Kaplumbağa ve Akhilleus ‘in yarışı sonsuza dek sürer ve kaplumbağa her seferinde biraz önde olur. Akhilleus hiçbir zaman kaplumbağayı geçemez.
Mantıklı düşündüğümüz zaman kaplumbağa ve bir atletin yarışında atletin kaplumbağayı geçeceğini biliriz.
Bu yarışın kaplumbağanın zaferiyle sonuçlandığını birçok kişi anlayamamıştır çünkü sonsuzluk kavramını anlayamamışlardı.
Sonsuz sayıdaki değerlerin, her ne kadar küçük olursa olsunlar, toplamda sonsuz bir sayıya eşit olduğunu düşünüyorlardı.
Kaplumbağa ve Akhilleus’in yarış problemi çok uzun zaman boyunca çözülememiştir. 1600’lerde İskoç bir matematikçi bu meraka son vermiştir ve sürekli azalan sonsuz sayıdaki değerlerin sınırlı bir değere eşit olacağını göstermiştir.
Category Archives: Ders Arası Matematik
Matematiksel Resimler ve Perspektif
Kimse Arka Planda Sıkışıp Kalmasın
Sanat bugünlerde kurallara göre oynamıyor.Kuralsız olarak adlandırabileceğimiz sanatta da bir takım matematiksel kurallar dizisi karşımıza çıkıyor, ve yıkılmayan tek kural var o da perspektif
14. yüzyıldan önce hiç kimse resmin arka planındaki nesnelerin önde yer alanlardan daha küçük görünüp görünmediğini pek önemsemiyordu: Çoğu sanat eseri derinlik önemsenmeden resmediliyordu ve insanlarla nesnelerin boyutları ne kadar önemli olduklarına göre belirleniyordu.
Perspektif, nesnelerin gözlemciden olan uzaklıklarına bağlı olarak birbirlerine ilişkin konumlarına göre nasıl göründükleridir.
Temel olarak iki tür perspektif vardır: doğrusal perspektif ve atmosferik perspektif.
Leonardo da Vinci perspektif meselesini yepyeni bir anlam kazandırmıştır. Gelinen noktada perspektif sadece ışık ışınlarını ve görüş hatlarını dikkate alırken, Leonarda da Vinci ışığın içinden geçtiği havayı da hesaba katmayı başladı. Bir nesnenin uzaklığı arttıkça, kenarlarının bulanıklaştığı ve hatta renginin değiştiğini fark etti. Buna da atmosferik perspektif diyoruz.
Doğrusal perspektif iki temel biçim alır.
Tek kaçışlı perspektif
Kaçış noktası karşınızdayken oluşur. Uzun düz bir yolun ortasında durup ufka baktığınızı düşünün.
İki kaçışlı perspektif
İki ya da daha fazla yüzüyle karşı karşıya olduğunuz bir nesneye bakarken oluşur.
İşte Matematiksel Resimler :
Buradaki resimlerin hepsi tek kaçışlı perspektife göre çizilmiştir.
TUZ TANELERİ ve KÜPLER
Geometrik şekiller hiç beklemediğimiz bir anda karşımız çıkabilir. Belki de her gün binlercesiyle karşı karşıyayız ama farkında değiliz.
En çok hangi geometrik şekille karşılaşıyoruz derseniz ben küp derim. Çünkü tuzluk sürekli yemek masasının üzerinde duruyor ve içinde mini minnacık tuz kristalleri sessizce birilerinin onları fark etmesini bekliyor.
Her gün yemek masasında binlerce küp ile karşı karşıya olduğumuzu biliyor musunuz?
Binlerce küçük tuz tanesi masanın üzerindeki tuzluğun içerisinde keşfedilmeyi bekliyor.
Bir mikroskopla tuz kristallerini incelemeye ne dersiniz?
İşte mikroskop altındaki tuz taneleri
ÇOOOOK BÜYÜK SAYILAR ve GOOGOL
Matematikte çok büyük sayılarla uğraşmak sıradandır fakat çok büyük sayıları genellikle isimlendirmeyiz. Çok büyük sayılarla uğraştığınızı düşünün ve sayfanıza ekleyeceğiniz sıfırlar defterlerinize sığmaz, o kadar büyük sayılar vardır ki onları yazmak bile günlerinizi alabilir. Matematikçiler çok büyük sayıları yazarken üstlü sayılar gibi hayatımızı kolaylaştıran yollar geliştirmişlerdir.
Çok büyük sayılar ne kadar büyük ve sonsuza ne kadar yakın diye düşünmeden edemeyiz. Çok büyük sayılarla sonsuzluk arasındaki farkı göstermek için googol adı verilen bir sayı icat edilmiştir.
Googol sözcüğü matematikçi amcasının 1’in arkasına 100 tane sıfır olan 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 bir sayı için ad bulmasını istediği dokuz yaşındaki bir çocuk tarafından bulunmuştur.
Googol sayısını 10 üzeri 100 şeklinde yazabiliriz. Googol sayısı büyük bir sayıdır ve nadiren karşımıza çıkar.
Googol sayısı mı o da ne bu mu büyük diyorsanız googleplekse sayısına bir bakın.
Googleplekse; 10 üzeri googol , googleplekse sayısını yazmak gerçekten zor, denemek isterseniz alın elinize kaleminizi başlayın bittiğinde bekliyorum.
Googleplekse, çoook ama çoook büyük bir sayı olmasına rağmen o bile sonsuzluğun yanında çoook küçük kalır.
Miniklere Matematik Okuryazarlığı
Öğrenciler matematiksel kavramları iyi öğrendikleri zaman matematik dersi daha anlaşılır ve kolay olacaktır.
Minikler için matematik okuryazarlığını desteklemek için basit kavramlarla başlayarak bir tablo oluşturabiliriz.
Tabloyu oluşturduktan sonra bildikleri kavramları tespit ederek bildikleri kavramlarla birer cümle kurmalarını isteyebiliriz.
Eğer öğrenciler kavramı tanımlayabileceğini söylerse kavramın tanımını yapabilir…
İşte size örnek bir tablo
Kavram ya da Terim Tanımlayabiliyorum Kullanabilirim Emin Değilim Bilmiyorum
Toplama
Alan
Ortalama
Eksen
Çap
Payda
Matematikle Sanat- Op Sanatı
Op Sanatı
Çoğumuzun aklıma matematik deyince sayılar gelir, matematikle sanatta matematiğin görünmeyen tarafını sizlere göstermek istiyorum.
İsmini bilmediğimiz ‘Op Art’ta bunlardan birisi…………….
Op art, optik resim olarak da bilinen 1960’ların bir resim akımıdır. Renk, çizgi gibi öğeler göz yanılsamaları yaratmak için kullanılır. Eserler genelde soyut olup, pek çok durumda siyah-beyazdır.
Lekecilik ve hareket resmine karşı gelişen Op-art, sanat yapıtını kurallarla bilimsel olarak düzenlemeye önem vermiştir. Rastlantıya dayanan içgüdüsel otomatik yazı resmi( içgüdüsel-nonfigüratif), bu anlayışın tam karşıtı olmaktadır. Op-art resimde üçüncü boyut etkisini verme eğiliminin soyut sanatta ortaya çıkan şeklidir. Bunun için geometrik biçimler ritmik biçimde düzenlenmiş ve bu biçimler üzerinde renkle model yapılmıştır.
(Kaynak: http://tr.wikipedia.org/wiki/Op_sanat)
Kendi op-artınızı oluşturmaya ne dersiniz?
Matematik Yıldızları
Matematik dersi neden birçok öğrenci için zordur? Hepimizin matematiğin umutsuz ve zor olduğunu düşündüğümüz zamanlar olmuştur. Matematik dersi önyargılardan dolayı öğrenciler için kâbus haline gelebilir ama aslında her şey çok kolay.
Matematiğin aslında ne demek olduğunu anladığınız zaman matematik ne sıkıcıdır ne de zor.
Biz de öğrencilere sorduk matematiği daha iyi anlamak ve matematik yıldızı olmak için neler gerekir ve posterimiz oluştu!
Kuralları Yıkan Adam
Escher, dünyanın bana göre en iyi illüstratörü, 3 boyutlu resim yapmak için, sanatçıların kullandığı bütün matematik kurallarını çiğnemiştir. Escher matematik kurallarını yıkarak çalışmalarında rüya gibi sonu gelmeyen bir dünya yaratmıştır. Matematik sanatçısı Escher; bütün eserlerinde simetri ve döşemeleri kullanmıştır ve sonsuz kavramını hiçbir zaman unutmamıştır.
İmkânsız bir resmi çizebilen tek sanatçı Escher’dir. Merdivenler Evi’ni incelediğimiz zaman iki tane kaybolma noktası olduğunu ve kaybolma noktalarının etrafında dolaşan eğrilen çizdiğini görürüz. Kaybolma noktalarında yaratıklar vardır ve resmin üstü altının tekrarıdır. Escher’in resmindeki manzara sonsuza kadar devam eder.
Escher’in ‘Daire sınırı 4’ adlı eserinde, melekler ve şeytanlar aralarında akıllıca bırakılmış boşluklarla birbirlerinin şekillerini oluşturur. Desen kenarlarda küçülerek sonsuza dek devam ediyormuş izlemini verir.
Escher bu resmi matematikçilerin hiperbolik düzlem dediği imkansız 2 boyutlu yüzeyi temsil etmek için yapmıştır.
TESELLA- Küçük Mozaik Parçası
Küçük mozaik parçası anlamına gelen tesella hepimizin yapabileceği kadar kolaydır. Tesella yaparken düz bir yüzeyi kaplamak üzere geometrik figürler bir araya getirilir. Geometrik figürlerin aralarında boşluk bırakılmaz ve figürler birbirlerinin üzerine kaplamaz.
Eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen, altıgen, sekizgen ve onikigen kullanarak kendi mozaiğinizi oluşturabilirsiniz.
İşte kendi tesellanızı yapmak için gerekli malzemeler;
-Renkli kağıt, karton,kalem,makas ve yapıştırıcı
Geometrik şekilleri farklı şekillerde yerleştirerek mozaik oluşturmaya başlayabilirsiniz.
Mozaik oluşturmaya tek bir şekil kullanarak başlayın sonra değişik şekilleri de kullanabilirsin. İlham almanız için aşağıdaki örneklere bakabilirsiniz.
Haydi durmayın hemen başlayın!
Naum Gabo ve Matematik Kalbim
Naum Gabo bir sanatçının adı. 1980 yılında doğmuş, ancak sonra ABD’ye taşınmış ve 1977’de ölene dek orada yaşamış. Değişik çerçevelerdeki deliklere geçirdiği iplikleri gererek heykeller yaratmış.Bu şekilde güzel eğriler ve modeller elde etmiş. Ancak, bunlarla yetinmemiş, aynı zamanda da bunların yasasını bulmuş.
Bir pergel,çetvel ve kalem ile işte size Naum Gabo’dan matematik kalbi
